1非线性PID控制器1.1 非线性跟踪微分器
在实际控制过程中，控制所需信号往往是不连续或不可微的，或在噪声的干扰作用下，信号变得不连续或不可微，给PID控制品质的提高造成很大的障碍，非线性跟踪微分器在积分作用下跟踪信号及其微分信号，成功地解决了这一问题。
文献［1］提供了二阶跟踪微分器的结构： 
(1) 
式中 R为一大于零的常数。
可以证明，对式（1）输入一信号v(t)，它将产生两个状态信号x1(t)和x2(t)，其中x1(t)跟踪输入信号v(t)，，即x2(t)为输入信号v(t)的广义微分信号。令为该跟踪微分器的开关平面函数。为了防止在s＝0附近出现高频颤振现象，式（1）在开关平面函数上设置了线性饱和区间(-σ，＋σ)。
在仿真和分析过程中发现，开关平面进入线性区后，x2的变化速度将大大减缓，若系统正处于快速跟踪阶段（即｜x2｜较大时），跟踪过程将产生较大的超调。因此，在开关平面函数中引入了罚函数e｜x2｜，得改进后的跟踪微分器结构为 
(2) 式（2）中R决定了系统的跟踪速度，其值取R＝4C／T2t，c为被跟踪信号幅值，Tt为跟踪微分器的跟踪时间常数，一般小于被跟踪信号周期T0的0.5倍。若被跟踪信号为非正弦信号，则可通过傅立叶分析大致得到c和T0 (T0应取 高次谐波的周期值）。δ越大，抵御干扰的能力越强，但也增大了干扰信号衰减振荡的周期，因此一般可视开关平面函数s所受干扰的大小，在满足抗干扰情况下取较小的整定值。
1.2 非线性度α变换
非线性度α变换，即在误差信号进入控制器前先进行幂指数为α的变换。以非线性度α＝0.5为例，对一阶系统G(s)＝1/TS的比例控制作简略分析。由图1所示结构和非线性度的定义，得出非线性调节器输出控制信号为 
(3) 
图1 非线性度α调节器
Fig.1 Nonlinear norm α regulator 由一阶系统输入输出关系Y(s)＝G(s)*U(s)的拉氏反变换可以发现，控制输出信号与系统输出信号满足关系 
(4) 将式(4)代入式(3)，得系统输出的轨迹为 
(5) 由式(5)可发现：
(1)在输入信号r(t)为单位阶跃信号，扰动
f(t)＝0时，系统输出误差的运动轨迹与初速度为v0＝k/T、加速度为a＝k2/2T2的物体恒减速率运动轨迹相同，系统到达稳态即err＝0的时间(称作调整时间ts)为ts＝2T/k，较之传统线性比例控制系统进入误差2%的调整时间ts＝4T/k快1倍，且在调整时间后，系统误差在非线性度变换控制下为零，即实现了真正无差调节。
(2)在输入信号r(t)＝0，扰动f(t)为单位阶跃函数时，系统误差的运动轨迹同样与初速度为v0＝1、加速度为a＝k2/2T2的物体恒减速率运动轨迹相同，系统在t＝2T2/k2后将进入稳态即dy/dt＝0，其误差为err＝1/k2，较之线性比例控制的稳态误差err＝1/k大大减小，即非线性变换增强了系统抗扰动的能力和自身参数的摄动性。
对于非线性度α(0＜α＜1)的情况，在参考输入r(t)为单位阶跃信号，系统所受扰动f(t)＝0时，非线性度α与系统调整时间ts的对应关系如表1；在参考输入r(t)＝0，外加扰动f(t)为单位阶跃输入时，系统稳态误差为。 表1 调整时间与非线性度关系表
Tab.1 Realation of adjusting time and nonlinear norm 非线性度α1.00.90.80.70.6 调整时间ts     非线性度α0.50.40.30.20.1 调整时间ts     上述分析不仅表明了非线性度α的引入有利于提高系统响应的灵敏性，减小跟踪过程的误差，而且还加强了系统克服外来干扰的能力，大大减小了自身参数的变化对控制品质的影响，即增强了系统的鲁棒性。
对于二阶系统 ，为了获得类似一阶系统的非线性度α控制效果，采用常规线性PID控制方法对其进行校正，使其传递函数为形同G(s)＝1/Ts的广义一阶系统。对于比例系数kp、积分时间常数τi和微分时间常数τd的线性PID调节器，其传递函数可写成，校正后的系统开环传递函数为G′(s)＝G0(s).G(s)，当适当选择PID调节器参数使其满足时，则系统传递函数被校正为，其中。对于某些高阶系统的被控对象，可以二阶系统作近似模型或通过系统降阶的方法将其转化为二阶系统。由于控制器具有的强鲁棒性，****结果表明，控制品质不会受太大的影响。
2.3 非线性PID控制结构
至此，得到非线性PID控制器的结构框图如图2,其中r(t)和y(t)分别为参考输入信号和被控信号，err0，err1，err2分别为PID校正器的积分、比例和微分输入信号，虚线框表示校正后的广义一阶系统。 
图2 非线性PID控制器结构图
Fig.2 Structure of nonlinear PID controller 图2中，前置跟踪微分器(Ⅰ)宜选用较小的R值，使其跟踪速度相对较为缓慢，以便对参考输入信号的变化起到柔化的作用。反馈跟踪微分器(Ⅱ)为PID校正器****反馈信号及其微分信号，为使反馈信号及其微分信号尽可能快地反映输出信号的变化情况，R的取值相应地较大，跟踪时间常数取输出信号变化周期的0. 25倍以下为宜。由于反馈信号和微分信号均来自于积分作用，因此有很强的抗干扰性能，为PID控制过程中取较大的微分时间常数扫清了障碍。 2 发电机组汽门的非线性PID控制器 假定发电机已采用了性能优良的励磁控制器，即q轴暂态电势E′q在整个过程中保持恒定。为使问题的分析简便，本文只研究高压缸主调节汽门的控制，而不考虑快关汽门的控制作用。即认为中低压缸的输出功率保持不变，并忽略发电机本身的机械阻尼效应。这样，发电机的运动方程满足： 
(6) 式中 Δδ为发电机的功角增量，rad； Δω为发电机的角速度增量； ω0为发电机同步角速度，取314rad/s； H为发电机转子的惯性时间常数，s； TΣ为汽门调节系统总的时间常数(含蒸汽容积时间常数和油动机时间常数)； Δu为原动机主调节汽门开度增量； ΔPm为原动机输出机械功率增量； ΔPe为发电机输出功率变化增量，其值为 
(7) 式中 δ0和Pe0分别为发电机在平衡点的功角和输出功率值；Vs为无穷大系统母线电压；x′dΣ为系统暂态电抗；E′q为q轴暂态电势；未标注各量均取系统标幺值。
为取得发电机的线性化模型，对式(7)作一近似处理得 
(8) 式中 
将式(8)代入式(6)，得 
(9) 以Δω为输出，Δu为系统输入，对式(9)各式作拉氏变换并化简，可得 
(10) 在动态过程中，a的值一般较小，可对式(10)取其近似二阶模型 
(11) 对模型式(11)构造非线性PID控制结构，便得到单机无穷大系统模型的汽门控制器。由于非线性PID控制参数的摄动性较强，上述过程中模型的简化对控制效果影响并不大。 3 数值仿真 数值仿真对象为图3所示的单机无穷大系统。积分采用龙格-库塔法，步长h＝0.0001s，仿真列出了非线性PID控制器(NLPID)和基于Z-N法参数整定的线性控制器(Z-NPID),结果： 
图3 单机无穷大系统图
Fig.3 One machine infinite bus system and its parameters 例1： 发电机相对无穷大系统功角δ＝35°运行，在t＝0时刻F点发生三相短路故障，0.15s切除故障线路，0.75s故障线路重合闸成功，仿真结果如图4。 
图4 仿真例1
Fig.4 Curves of example 1 例2：发电机相对无穷大系统功角δ＝59运行，故障状况同例1，仿真结果如图5。 
图5 仿真例2
Fig.5 Curves of example 2 例3： 发电机相对无穷大系统功角δ＝59运行，在t＝0时刻汽门开度整定值下降15%，仿真结果如图6。 
图6 仿真例3
Fig.6 Curves of example 3 4 结论 新型非线性PID控制器克服了常规非线性PID控制器参数整定的困难，结构简单，实现容易，对于对象参数和结构的变化鲁棒性能好，能较好地适应对象的非线性特性，将其运用于电力系统中发电机的汽门控制，可有效地提高静态和暂态稳定性能。
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